Каким образом у формы может быть размерность 1,26?

Формы, с которыми математики сталкивались до того, как на сцену вышли фракталы, были одно-, дву– или трехмерными: одномерная линия, двумерный шестиугольник, трехмерный куб. Но одно из самых поразительных открытий в теории фракталов состояло в том, что размерность этих новых форм больше 1, но меньше 2. Если вы достаточно отважны, я предлагаю вам объяснение того, как у формы может быть размерность между 1 и 2.

Трюк состоит в том, чтобы предложить умный способ, позволяющий понять, почему линия одномерна, а квадрат двумерен. Представьте, что вы взяли прозрачный лист клетчатой бумаги, положили его на исследуемую форму и сосчитали, сколько квадратиков содержат часть формы. Затем возьмите лист клетчатой бумаги, стороны квадратиков которой в два раза меньше, чем у первоначальной.

Рис. 2.31. Как вычислить размерность фрактала, используя клетчатую бумагу. Размерность характеризует увеличение количества пикселей при уменьшении их размера

Если эта форма – линия, количество клеток на бумаге возрастает в 2 раза. Если форма – квадрат, то число клеток увеличится в 4 раза, или в 2². Каждый раз, когда мы уменьшаем размеры клеток на бумаге в 2 раза, число квадратиков, содержащих часть одномерной формы, увеличивается в 2 раза, в то время как для двумерной формы увеличение характеризуется множителем 2². Размерность соответствует степени 2.

Любопытно, что, если вы примените данную процедуру к фрактальной береговой линии, которую мы построили ранее в главе, то увеличение количества клеток при уменьшении их размеров в 2 раза описывается приблизительным множителем 2^1,26. Итак, с этой точки зрения у нас есть все основания сказать, что размерность равна 1,26. Таким образом, мы создали новое определение размерности.

Вместо клетчатой бумаги вы можете анализировать эти формы с помощью пикселей компьютерного дисплея. Пусть пиксель будет черным, если он содержит часть исследуемой формы, и белым в противном случае. При увеличении разрешения экрана размерность характеризует увеличение количества черных пикселей. Например, если вы переходите от разрешения 16 × 16 пикселей к разрешению 32 × 32, то для линии количество черных пикселей удваивается. Для квадрата увеличение количества черных пикселей описывается множителем 4, или 2². Для количества черных пикселей в компьютерном изображении снежинки Коха соответствующий множитель равен 2^1,26.

В каком-то смысле фрактальная размерность говорит нам, в какой мере эта бесконечная фрактальная линия стремится заполнить пространство, в котором она находится. Давайте построим несколько вариантов нашей фрактальной береговой линии, в которых мы будем делать угол между сторонами, добавляемыми к побережью, все меньше и меньше. При этом результат занимает все больше и больше пространства. Когда мы вычислим размерность каждой из береговых линий в этой последовательности, мы обнаружим, что она все ближе и ближе подходит к 2 (рис. 2.32).

Рис. 2.32. При изменении угла треугольника получающийся фрактал занимает все больше пространства, и его фрактальная размерность возрастает

Если проанализировать фрактальные размерности форм, встречающихся в природе, то обнаружатся некоторые интересные обстоятельства. Фрактальная размерность береговой линии Британии оценивается в 1,25, что довольно близко к показателю построенного нами математического побережья. Мы можем представить себе, что фрактальная размерность говорит нам, как быстро возрастает длина побережья, когда мы используем все более короткие линейки для ее измерения. Фрактальная размерность побережья Австралии оценивается в 1,13, что указывает в каком-то смысле на его менее сложную форму, чем у побережья Британии. Довольно поразительно, что фрактальная размерность береговой линии Южной Африки составляет лишь 1,04, это свидетельствует, что она весьма гладкая. Вероятно, самое фрактальное из всех побережий – у Норвегии с ее фьордами, оно характеризуется размерностью 1,52.

Рис. 2.33. Какова размерность береговой линии Британии?

Для предметов в трех измерениях мы также можем воспользоваться этим трюком, но клетчатую бумагу нужно заменить ячеистой структурой из кубиков. Нужно проследить, как изменяется количество кубиков, с которыми пересекается изучаемая форма, когда их размеры становятся все меньше и меньше. У цветной капусты при этом получается размерность 2,33, у листа бумаги, смятого в шар, будет 2,5, брокколи довольно замысловата с ее 2,66, и поразительно, что фрактальная размерность поверхности человеческого легкого равна 2,97.

Можно ли подделать Джексона Поллока?

Осенью 2006 г. картина, написанная художником XX в. Джексоном Поллоком, стала самой дорогой из когда-либо проданных. По сообщениям прессы, мексиканский финансист Дэвид Мартинес заплатил 140 миллионов долларов (что тогда соответствовало 75 миллионам фунтов) за картину с простым названием «№ 5, 1948».

Картина была создана с использованием фирменной техники Поллока – разбрызгивания краски по холсту. За свою манеру письма он был прозван «Джеком-оросителем»[5]. Критики были шокированы ценой, которая была уплачена за подобное произведение, заявляя: «Что же, я сам мог бы нарисовать такую картину!» На первый взгляд действительно кажется, что любой мог бы разбрызгать краску и надеяться стать миллионером. Но математики обнаружили, что Поллок действовал значительно тоньше, чем можно было бы подумать.

В 1999 г. группа математиков, возглавляемая Ричардом Тейлором из Орегонского университета, проанализировала картины Поллока и открыла, что используемая им прерывистая техника воссоздает фрактальные формы, столь возлюбленные природой. Увеличенные участки картин Поллока сильно напоминают полотна в целом и обладают характерной бесконечной сложностью фрактала. (Разумеется, все большее и большее увеличение в конечном счете приведет к отдельным пятнам краски, но это случится, лишь когда вы увеличите холст в 1000 раз.) Для анализа техники, развитой Поллоком, можно даже привлечь понятие фрактальной размерности.

Поллок начал создавать фрактальные полотна в 1943 г. Фрактальная размерность его ранних картин была в районе 1,45, близко к значениям норвежских фьордов, но при дальнейшем развитии техники фрактальная размерность стала ползти вверх, что свидетельствовало о растущей сложности его произведений. Для завершения одной из последних картин Поллока в технике разбрызгивания, «Синие столбы», потребовалось шесть месяцев. Ее фрактальная размерность равна 1,72.

Рис. 2.34. Фрактальная размерность картины возрастает, когда вы разбрызгиваете все больше краски

Психологи исследовали формы, которые люди находят эстетически привлекательными. Нас постоянно притягивают изображения с фрактальными размерностями между 1,3 и 1,5, что соответствует размерностям многих форм, встречающихся в природе. На самом деле у этого могут быть веские эволюционные причины. Вероятно, так устроен наш мозг, чтобы можно было приспособиться к джунглям вокруг нас. Либо, подобно тому как лучшая музыка находится где-то между крайностями скучных звуков, издаваемых лифтом, и случайным белым шумом, эти формы притягательны для нас, потому что их сложность находится между слишком регулярными и слишком случайными объектами.