Вы, наверное, догадались, как мы поступим дальше. Мы будем повторять процедуру разбиения прямых отрезков на три части и замены средней секции двумя линиями той же длины. Каждый раз, когда мы делаем это, происходит увеличение длины нашего побережья благодаря множителю 4/3. Повторение процедуры 100 раз приведет к удлинению береговой линии в (4/3)¹⁰⁰ раз, и она превысит 3 миллиарда километров. Если распрямить эту бечевку, то она протянется от Земли до Сатурна.

Если бы мы могли поступить так бесконечно много раз, то получили бы бесконечно длинное побережье. Конечно, физика не позволяет нам уходить делением отрезков в бесконечно малые размеры, ограничивая нас планковской длиной. Это происходит потому, что, как считают физики, мы не можем измерить длины менее 10^–35 м, не создав при этом черную дыру, которая поглотит измерительную аппаратуру. Но повторение нашего приема добавления все меньших и меньших заливов к нашей береговой линии после 74-го шага приведет к линиям, меньшим 10^–35 м. Но математики – вовсе не физики: мы живем в мире, где отрезок можно разделить бесконечно много раз и при этом не исчезнуть в черной дыре.

Другой способ увидеть, что у береговой линий бесконечная длина, состоит в рассмотрении сегмента фрактала между точками А и B на рис. 2.25. Обозначим его длину L. Если мы увеличим этот сегмент побережья в три раза, то результатом будет точная копия всего побережья от А до Е. Тогда длина всей береговой линии будет 3L. С другой стороны, мы можем взять четыре копии меньшего сегмента и составить из них, располагая друг за другом, все побережье: от А до B, от B до C, от C до D и от D до E. С этой точки зрения длина всей береговой линии будет 4L, потому что для ее построения потребовались четыре копии меньшего сегмента. Но длина должна быть одинаковой, как бы мы ее ни измеряли. Каким же образом совместить 4 L = 3 L? Это уравнение может разрешить только L, равная либо нулю, либо бесконечности.

Рис. 2.25. Увеличьте меньший сегмент, идущий от A до B, в три раза, и вы получите больший фрактал. Но больший фрактал также можно получить, располагая друг за другом четыре копии меньшего сегмента

На самом деле бесконечная береговая линия, которую мы нарисовали, – это часть формы, называемой снежинкой Коха в честь ее изобретателя, шведского математика Хельге фон Коха. Он построил ее в начале XX в. (рис. 2.26).

Рис. 2.26

У этой математической формы слишком много симметрии, чтобы походить на настоящее побережье, она не выглядит слишком естественно или органично. Но вы можете добавить элемент случайности, касающийся того, идет ли добавляемая линия на сушу либо в море. И тогда все смотрится значительно убедительнее. Вот картинки (рис. 2.27), полученные той же самой процедурой, что и ранее, за одним исключением.

Рис. 2.27

Всякий раз перед добавлением линий вы бросаете монетку, чтобы решить, разместите ли вы их под удаляемой линией или над ней. Если объединить несколько подобных участков побережья вместе, то результат будет удивительно походить на средневековую карту Британии:

Рис. 2.28

Итак, если вам когда-либо зададут вопрос о длине береговой линии Британии, вы можете выбрать любой нравящийся вам ответ. Не о таких ли вопросах по математике мечтает каждый школьник?

Что общего у молнии, брокколи и фондового рынка?

В 1960 г. французского математика Бенуа Мандельброта пригласили выступить с докладом на экономическом факультете Гарвардского университета, чтобы рассказать о его недавней работе по распределению больших и малых доходов. Когда Мандельброт вошел в кабинет организатора выступления, то был немало озадачен, увидев, что те графики, которые он подготовил для своего рассказа, были нарисованы на доске. «Как вы сумели получить мои данные заранее?» – спросил он. Однако, как ни удивительно, нарисованные графики не имели никакого отношения к доходам, а представляли изменения цен на хлопок, которые анализировались на предыдущей лекции.

Это подобие пробудило любопытство Мандельброта и привело его к открытию, что у графиков различных несвязанных наборов экономических данных будет сходство в форме. Сверх того, формы будут сохраняться независимо от временного масштаба. Например, изменения цен на хлопок за восемь лет напоминают изменения за восемь недель, а последние сильно походят на изменения за восемь часов.

То же самое явление наблюдается и при измерении побережья Британии. Возьмите, например, изображения, приведенные ниже. На каждом из них показаны участки береговой линии Шотландии. Одно взято с карты масштаба 1: 1 000 000. Другие представляют значительно более детальные карты, масштаба 1: 50 000 и 1: 25 000 соответственно. Но удастся ли определить по изображению на карте ее масштаб? Сколь бы вы ни увеличивали или, напротив, ни уменьшали масштаб, у этих форм сохранится тот же уровень сложности. Подобное утверждение несправедливо в отношении всех форм. Если вы нарисуете волнистую линию и будете увеличивать какую-то ее часть, то с некоторого момента она будет выглядеть довольно просто. В отличие от этого береговая линия или графики Мандельброта при сколь угодно большом увеличении сохраняют сложность своей формы.

Рис. 2.29. Береговая линия Шотландии при разных увеличениях. Используются исходные карты масштаба 1: 1 000 000, 1: 50 000 и 1: 25 000 (слева направо)

Когда Мандельброт продолжил свои изыскания, он обнаружил, что эти странные формы, сохраняющие крайнюю сложность независимо от степени увеличения, с которой вы разглядываете их, встречаются во всей природе. Если вы отломите соцветие от цветной капусты и увеличите его, оно будет замечательно походить на исходную головку цветной капусты. Если вы поглядите на увеличенный участок извилистой молнии, то, вместо того чтобы быть прямым, он будет выглядеть как копия молнии в целом. Мандельброт назвал эти формы фракталами и отнес их к «геометрии природы», поскольку они представляют подлинно новый вид, осознанный в полной мере лишь в XX в.

У эволюции этих фрактальных форм в природе имеются практические причины. Фрактальное устройство человеческих легких означает, что, хотя они помещаются внутри ограниченного объема грудной клетки, их поверхностная площадь огромна, следовательно, они могут поглощать большое количество кислорода. То же относится и к другим органическим объектам. Папоротники, к примеру, стремятся увеличить свою освещенность солнцем, не занимая при этом слишком много места. Все это обусловлено способностью природы находить формы с величайшей эффективностью. Подобно тому как пузырь обнаружил, что сфера – это то, что лучше всего подходит его нуждам, живые организмы, напротив, пошли в другой конец спектра, выбрав фрактальные формы с бесконечной сложностью.

Поразительно, что, несмотря на эту бесконечную сложность фракталов, их можно генерировать с помощью очень простых математических правил. С первого взгляда крайне трудно поверить, что причудливость природного мира может быть основана на простой математике, но теория фракталов обнаружила, что даже самые сложные структуры природного мира могут быть созданы нехитрыми математическими формулами.

Рис. 2.30. Фрактальный папоротник