Много ли понадобится времени, чтобы написать список всех простых чисел?

Любому, кто захочет написать список всех простых чисел, придется писать его вечно, потому что их количество бесконечно. Почему же мы уверены, что никогда не дойдем до последнего простого числа, что за ним в списке будет следующее? Одно из величайших достижений человеческого разума состоит как раз в том, что с помощью небольшой последовательности логических шагов мы можем осознать бесконечность.

Первым, кто доказал нескончаемость простых чисел, был греческий математик Евклид, живший в Александрии. Он был учеником Платона, и время его деятельности также пришлось на III в. до н. э., хотя, по-видимому, он был на 50 лет старше библиотекаря Эратосфена.

Для того чтобы доказать бесконечность количества простых чисел, Евклид задался вопросом: может ли, напротив, множество простых чисел быть конечным? Конечный список простых чисел означал бы, что любое другое число может быть получено перемножением элементов этого конечного списка. Предположим, к примеру, что список простых чисел включает лишь три числа: 2, 3 и 5. Может ли любое число быть получено путем перемножения различных комбинаций 2, 3 и 5? Евклид придумал способ построения числа, которое не может быть получено таким путем. Он начал с перемножения списка простых чисел, что приводит к 30. Затем – и в этом была гениальная догадка – он добавил 1 к этому числу и получил 31. Ни одно из списка простых чисел, ни 2, ни 3, ни 5, не является его делителем. Всегда получается остаток 1.

Евклид знал, что все числа могут быть построены перемножением простых чисел – так что же можно сказать о 31? Так как оно не делится на 2, 3 или 5, должны быть другие простые числа, вне имеющегося списка, которые участвуют в построении 31. В действительности число 31 само является простым, так что Евклид создал «новое» простое число. Вы скажете, что в имеющийся список простых чисел нужно лишь добавить это «новое» число. Но, сколь бы ни был велик список, Евклид мог бы снова повторить свой прием – перемножить числа из списка и добавить 1. Каждый раз он получал бы число, которое при делении на любое число из списка давало бы остаток 1, значит, это новое число должно делиться на простые числа вне имеющегося списка. Таким образом Евклид доказал, что любой конечный список не может включать все простые числа. Следовательно, количество простых чисел должно быть бесконечным.

Хотя Евклид сумел показать, что простые числа никогда не заканчиваются, его доказательство не говорило, как найти простые числа. Можно было бы подумать, что, действуя в соответствии с указанной процедурой, мы будем генерировать новые простые числа. Ведь мы перемножили 2, 3 и 5, добавили 1 и получили новое простое число 31. Однако такая процедура срабатывает не всегда. Например, возьмите следующий список простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножив их, мы получим 30 030, а добавив 1, придем к 30 031. Простые числа с 2 до 13 не являются делителями последнего числа, всякий раз при делении получается остаток 1. Тем не менее 30 031 не является простым числом, у него есть простые делители 59 и 509, которые не включены в наш список. В действительности математики до сих пор не знают, будет ли повторение процедуры перемножения конечного количества простых чисел и добавления 1 давать бесконечно много новых простых чисел.

Почему вторые имена моих дочерей 41 и 43?

Если мы не можем занести простые числа в одну большую таблицу, то нельзя ли попытаться найти некую закономерность, которая помогла бы нам генерировать простые числа? Существует ли хитроумный способ, который позволит, глядя на имеющиеся простые числа, предсказать, где нужно искать следующее?

Вот те простые числа из интервала от 1 до 100, которые мы получили, используя решето Эратосфена:

Проблема простых чисел состоит в том, что бывает по-настоящему сложно понять, где окажется следующее из них; по-видимому, не существует каких-либо закономерностей в их последовательности, способных помочь нам в их поиске. На поверку они скорее напоминают набор номеров лотерейных билетов, а не строительные кирпичики математики. Это чем-то напоминает ожидание автобуса: крайне долго нет ни одного, но вдруг они идут один за другим с короткими интервалами. Такое поведение весьма характерно для случайных процессов, как мы увидим в главе 3.

За исключением 2 и 3, ближайшее расстояние между двумя простыми числами может быть равно 2, как между 17 и 19, либо 41 и 43, потому что число между каждой парой будет четным, следовательно, не простым. Такие пары крайне близких простых чисел называются простыми числами-близнецами. Из-за моей одержимости простыми числами мои дочери-двойняшки чуть не были названы 41 и 43. В конце концов, если Крис Мартин и Гвинет Пэлтроу назвали своего ребенка Яблоком, а Фрэнк Заппа своих дочерей – Лунный Модуль и Дива-кексик, то почему у меня не могут быть близняшки 41 и 43? Но жена не разделяла мой энтузиазм, поэтому эти числа стали «тайными» вторыми именами наших дочерей.

Хотя простые числа встречаются все реже и реже, когда вы углубляетесь во вселенную чисел, удивительно, насколько часто попадаются простые числа-близнецы. Например, после простого числа 1129 на протяжении 21 последующего числа нет ни одного простого, а затем неожиданно появляется пара 1151 и 1153. Когда вы проходите 102 701, вам необходимо преодолеть 59 составных чисел, а затем внезапно возникают простые числа-близнецы 102 761 и 102 763. В наибольших простых числах-близнецах, известных к началу 2009 г., 58 711 цифр. Если учесть, что число атомов в наблюдаемой Вселенной имеет 80 цифр, такие числа оказываются до нелепости большими.

Однако будут ли и затем встречаться близнецы? Благодаря доказательству Евклида мы знаем, что и дальше найдем бесконечно много простых чисел, но как насчет их пар? Пока еще никто не смог придумать хитроумное доказательство, подобное Евклидову, что простых чисел-близнецов бесконечно много.

Одно время казалось, что близнецы могут сыграть ключевую роль в раскрытии тайны простых чисел. В книге «Человек, который принял жену за шляпу» Оливер Сакс описывает случай из реальной жизни, когда два аутистичных близнеца, обладавших феноменальными способностями, использовали простые числа как тайный язык. Обыкновенно братья сидели в клинике Сакса и обменивались между собой большими числами. Сначала Сакса озадачил их диалог, но как-то вечером он сумел понять его секрет. Выучив одно простое число, он решил проверить свою догадку. На следующий день он решил присоединиться к близнецам, которые обменивались шестизначными числами. Сакс, воспользовавшись паузой, произнес семизначное число, что застало близнецов врасплох. Некоторое время они сидели в раздумьях, так как число выходило за пределы их привычного диапазона, но потом одновременно улыбнулись, как будто узнали старого друга.

За время, проведенное у Сакса, близнецы сумели достичь девятизначных простых чисел. Конечно, никто не нашел бы удивительным, обменивайся они нечетными числами или даже квадратами чисел. Поразительно было, что они использовали простые числа, которые настолько случайно распределены. Объяснение тому, что это у них получалось, возможно, крылось в другой способности братьев. Они часто появлялись на телевидении и впечатляли аудиторию своим умением определить, что, скажем, 23 октября 1901 г. было средой. Решение задачи о том, каким был день недели с названной датой, осуществляется с помощью модульной (модулярной) арифметики. Наверное, близнецы поняли, что модульная арифметика также играет ключевую роль в определении того, является ли число простым.

Возьмите какое-либо число, скажем, 17 и вычислите 2¹⁷. Если остаток от деления полученного числа на 17 равен 2, то у вас будет хорошее свидетельство в пользу того, что число 17 является простым. Этот тест на простоту числа зачастую неверно приписывают китайцам. На самом деле французский математик XVII в. Пьер де Ферма доказал, что если остаток не равен 2, то число 17 наверняка не является простым. В более общем случае если вы хотите проверить, что число p не является простым, то вычислите 2^p и разделите результат на p. Если остаток не равен 2, то число p не может быть простым. Некоторые люди допускали, что близнецы, обладая способностью определять дни недели, опирающейся на схожую технику нахождения остатков при делении на 7, вполне могли прибегать к данному тесту при нахождении простых чисел.

Сначала математики думали, что если у 2^p остаток от деления на p равен 2, то число p должно быть простым. Но, как оказалось, этот тест не гарантирует простоты. Так, 341 = 34 × 11 не является простым, но тем не менее остаток 2³⁴¹ от деления на 341 равен 2. Данный пример был открыт лишь в 1819 г., и, возможно, братья-близнецы знали, что требуется более изощренный тест, который исключил бы 341. Ферма выяснил, что в тесте можно не ограничиваться степенями 2. Он доказал, что если число p – простое, то для любого числа n, меньшего p, остаток от деления n^p на p равен n. Значит, если вы найдете какое-либо число n, для которого тест проваливается, то необходимо отбросить p как самозванца, не являющегося простым.

Например, остаток от деления 3³⁴¹ на 341 равен не 3, а 168. Конечно, близнецы никак не могли прогонять тест, используя все числа, меньшие их кандидата на роль простого, – потребовалось бы слишком много времени. Однако, как оценил великий венгерский кудесник простых чисел Пал Эрдёш (хотя он не мог доказать это строго), шанс того, что число, меньшее 10¹⁵⁰, пройдет тест Ферма один раз и не окажется простым, настолько низок, как 1 из 10⁴³. Вероятно, для близнецов один прогон теста был достаточен, чтобы заявить о нахождении простого числа.