Книги
Тайны чисел: Математическая одиссея
Карл Саган не был первым, кто предложил использовать простые числа как средство общения, и не будет последним. Простые числа даже использовались НАСА при попытках установить контакт с внеземными цивилизациями. В 1974 г. с радиотелескопа Аресибо в Пуэрто-Рико было отправлено послание в направлении шарового звездного скопления М13, выбранного по причине огромного числа звезд в нем. Это увеличивает вероятность, что оно будет получено каким-то разумным существом.
Послание состояло из последовательности 0 и 1, кодирующих черные и белые пиксели рисунка. На реконструированном изображении показано двоичное представление чисел от 1 до 10, схема строения ДНК, описание нашей Солнечной системы и эскиз самого радиотелескопа Аресибо. Принимая во внимание, что во всем послании лишь 1679 пикселей, изображение не слишком-то детально. Но выбор числа 1679 был намеренным, потому что в нем содержится ключ к расположению пикселей. 1679 = 23 × 73, поэтому существует лишь два способа расположения пикселей в виде прямоугольника. Если их разместить в 23 ряда и 73 колонки, то получится хаотичный рисунок, но расположите их другим способом – в 73 ряда и 23 колонки, и получится правильный результат. Звездное скопление М13 находится от нас на расстоянии 25 000 световых лет, поэтому ответ придет не раньше чем через 50 000 лет!
Хотя простые числа универсальны, способ их записи сильно менялся на протяжении истории математики. Он культурно зависим, что сейчас и проиллюстрирует наше стремительное путешествие по планете.
Какое это простое число?
Некоторые из первых математических вычислений в нашей истории были сделаны в Древнем Египте. Вот так египтяне записывали число 200 201. Уже около 6000 г. до н. э. люди начали отказываться от кочевой жизни и селиться в долине Нила. С развитием египетского общества у него возникла потребность в числах, чтобы вести учет налогов, измерять земельные участки и строить пирамиды. Как и для своего языка, египтяне использовали иероглифы для записи чисел. У них уже была развита числовая система, основанная на степенях 10, как и в той десятичной системе, которая используется нами. (Этот выбор основан не на каком-то особом математическом значении данного числа, а на том анатомическом факте, что у нас десять пальцев.) Но им еще нужно было изобрести позиционную систему, то есть такой способ записи чисел, когда положение каждой цифры соответствует той степени 10, которую она считает. Например, цифры 2 в числе 222 соответствуют различным величинам в зависимости от их места. Вместо этого египтяне предпочли создать новые символы для каждой степени 10:
200 201 может быть довольно кратко записано таким способом. Но лишь попытайтесь записать простое число 9 999 991 с помощью иероглифов: вам понадобится 55 символов. Хотя египтяне не осознавали важность простых чисел, у них была разработана довольно сложная математика, включающая – что неудивительно – формулу для объема пирамиды и понятие дробей. Но их числовая система была не очень-то изощренной – в отличие от системы, используемой их соседями, вавилонянами.
Так древние вавилоняне записывали число 71. Вавилонская империя, подобно Египетской, была сосредоточена вблизи главной реки – Евфрата. С 1800 г. до н. э. вавилоняне контролировали значительную часть современных Ирака, Ирана и Сирии. Для расширения своей империи и управления ею им пришлось мастерски овладеть обращением с числами. Их записи велись на глиняных табличках, и писцы использовали деревянные палочки, или стилосы, чтобы делать отметки на сырой глине, которая потом высушивалась. Кончик стилоса имел форму клина, и вавилонское письмо теперь известно как клинопись.
Около 2000 г. до н. э. вавилоняне одними из первых пришли к идее использования позиционной системы счисления. Однако они использовали не основание 10, как египтяне, а 60. У них были различные символы для обозначения чисел от 1 до 59, а когда они доходили до 60, то начинали слева новый разряд «шестидесятков», подобно тому как мы ставим слева цифру 1 в разряде десятков, когда число становится больше 9. Итак, простое число, показанное выше, состоит из одного «шестидесятка» и символа, обозначающего 11, что вместе дает 71. У чисел от 1 до 9 имеется скрытая связь с десятичной системой, потому что они представляются горизонтальными линиями, но затем 10 представляется своим символом (рис. 1.09):
Выбор основания 60 для системы счисления значительно более обоснован математически, чем 10. Ведь у числа 60 много делителей, что делает его удобным для проведения вычислений. Например, если у меня 60 бобов, я могу разделить их множеством способов:
60 = 30 × 2 = 20 × 3 = 15 × 4 = 12 × 5 = 10 × 6.
И сегодня у нас остаются следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления. В минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. В круге 360 = 6 × 60 градусов. Имеются свидетельства, что вавилоняне использовали пальцы для счета до 60, причем довольно изощренным способом.
Если исключить большой палец, то на каждом из четырех оставшихся пальцев руки по три фаланги. Поэтому большим пальцем вы можете указать на одну из 12 фаланг. Левая рука используется для счета до 12. Затем 4 пальца правой руки используются для обозначения количества дюжин. В общей сложности вы можете так досчитать до пяти дюжин (4 дюжины на правой руке плюс одна дюжина на левой), то есть до 60.
Например, чтобы обозначить простое число 29, вам требуется показать две дюжины на правой руке и на фалангу, обозначающую 5, на левой.
