К несчастью для Мерсенна и математики, эта идея оказалась не совсем верной. Так, когда вы выберете 11-ю клетку на шахматной доске (этот номер соответствует простому числу), то с первой по эту клетку включительно будет 2047 рисинок. К сожалению, 2047 – составное число, оно равно 23 × 89. Но, хотя идея Мерсенна срабатывает не всегда, она привела к нахождению некоторых из самых больших известных простых чисел.
Книга Гиннесса простых чисел
Во время правления королевы Елизаветы I самым большим известным простым числом было количество рисинок на шахматной доске до девятнадцатой клетки включительно: 524 287. К тому моменту, когда лорд Нельсон сражался в Трафальгарской битве, рекордное простое число дошло до 31-й клетки: 2 147 483 647. Швейцарский математик Леонард Эйлер доказал в 1772-м, что это десятизначное число – простое. Оно удерживало первенство до 1867 г.
4 сентября 2006 г. рекорд перешел к числу, которое соответствует 32 582 657-й клетке, будь у нас достаточно большая шахматная доска. В этом новом простом числе более 9,8 миллиона цифр. Чтобы прочитать его вслух, потребовалось бы полтора месяца. Оно было найдено не каким-то гигантским суперкомпьютером, а математиком-любителем, который использовал программу, загруженную из интернета.
Замысел этой программы состоит в том, чтобы использовать компьютер во время его бездействия для проведения вычислений. В ней используется умная стратегия, которая была разработана для проверки того, являются ли числа Мерсенна простыми. Все же настольному компьютеру понадобилось несколько месяцев для проверки числа с 9,8 миллиона цифр. Но это намного быстрее методов, которые используются для тестирования того, является ли случайное число такого же размера простым. К 2009 г. более 10 тысяч человек присоединились к проекту по поиску простых чисел Мерсенна GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Однако будьте начеку, этот поиск небезопасен. Один доброволец GIMPS работал в американской телефонной компании. Он решил привлечь к своему поиску простых чисел Мерсенна 2585 компьютеров компании. Вскоре у руководства возникли подозрения: компьютерам требовалось 5 минут, а не 5 секунд, чтобы выдавать телефонные номера. Когда в конечном счете ФБР сумело найти причину замедления, служащий признался: «Вся эта вычислительная мощь была слишком большим искушением для меня». Но телефонная компания не прониклась симпатией к научному поиску и уволила служащего.
Если вы хотите, чтобы ваш компьютер присоединился к GIMPS, загрузите программное обеспечение на сайте www.mersenne.org.
После сентября 2006 г. математики ждали затаив дыхание, что рекорд преодолеет барьер в 10 000 000 цифр. У предвкушения были не только академические причины: премия в $ 100 000 ждала того, кто первым преодолеет этот барьер. Деньги были выделены расположенным в Калифорнии Фондом электронных рубежей EFF (Electronic Frontier Foundation). Эта организация способствует сотрудничеству в киберпространстве и его развитию.
Понадобилось еще два года, чтобы рекорд пал. По жестокой прихоти судьбы с промежутком в несколько дней были найдены два простых числа-рекордсмена. Немецкий энтузиаст Ганс-Михаэль Элвених, занимавшийся любительским поиском простых чисел, решил, что он сорвал джекпот, когда его компьютер объявил 6 сентября 2008 г., что найдено новое простое число Мерсенна с 11 185 272 цифрами. Элвених представил результат жюри, но возбуждение сменилось отчаянием – его опередили на 14 дней. 23 августа компьютер Эдсона Смита, работавшего на математическом факультете Калифорнийского университета в Лос-Анджелесe (UCLA), нашел большее простое число с 12 978 189 цифрами. Обновление рекорда простых чисел не было в новинку для Калифорнийского университета. Математик Рафаэль Робинсон, работавший в UCLA, открыл пять простых чисел Мерсенна в 1950-х гг., и еще два были найдены Алексом Гурвицем в начале 1960-х.
Разработчики программы, используемой GIMPS, решили, что призовые деньги не должны просто быть отправлены счастливчику, получившему для проверки число Мерсенна. $ 5000 получили разработчики программного обеспечения, $ 20 000 были поделены между теми, кто обновлял рекорды после 1999 г., $ 25 000 пошли на благотворительность, а оставшиеся деньги достались Эдсону Смиту из Калифорнии.
Если вы по-прежнему хотите выиграть деньги посредством поиска простых чисел, не берите в голову, что отметка в 10 000 000 цифр уже пройдена. За каждое новое число Мерсенна будет выдан приз в $ 3000. Но, если вам нужны большие деньги, знайте, что $ 150 000 предлагается превзошедшему отметку в 100 миллионов цифр, а $ 200 000 получит тот, кто пересечет рубеж в миллиард цифр. Благодаря древним грекам мы знаем, что такие рекордные простые числа дожидаются, пока кто-нибудь обнаружит их. Вопрос лишь в том, насколько инфляция уничтожит призовые деньги, когда очередной рекордсмен подаст заявку на их получение.
Простое число Эдсона Смита феноменально велико. Чтобы записать его цифры в этой книге, понадобилось бы 3000 страниц. К счастью, небольшое математическое упражнение приводит к формуле, которая представляет это число значительно более кратким образом.
Полное число рисинок с 1 по
Прием для нахождения формулы для этого числа состоит в следующем. Перепишем
Давайте сначала вычислим 2
Следующий шаг состоит в вычитании
Итак, полное число рисинок с 1-й по
Как драконова лапша пересекает Вселенную
Рис – вовсе не единственная еда, которая связана с мощью удвоения для получения простых чисел. Драконова лапша, или лагман, традиционно приготавливается растягиванием теста руками с последующим складыванием, что приводит к удвоению длины. Каждый раз, когда тесто растягивается, лапша становится длиннее и тоньше, но необходимо работать стремительно, потому что тесто быстро высыхает и распадается в крошево.
Повара по всей Азии соревнуются в удвоении длины лапши максимальное количество раз. В 2001 г. тайваньский повар Чанг Хан Ю сумел удвоить длину своего теста 14 раз за 2 минуты. В конце у него получилась настолько тонкая лапша, что она могла бы пройти сквозь игольное ушко. Могущество удвоения таково, что полученная лапша могла бы протянуться из ресторана господина Чанга в центре Тайбэя до окраины города. Когда она была нарезана, то получилось 16 384 куска лапши.