Книги
Тайны чисел: Математическая одиссея
Используя этот трюк, вы можете сгенерировать все билеты без последовательных чисел. То есть вы просто выбираете шесть чисел от 1 до 44 и разрежаете их, увеличивая каждое из них. Значит, мы найдем число возможных комбинаций, в которых нет последовательных чисел, и оно будет таким же, как число возможных комбинаций по выбору шести чисел от 1 до 44. Последнее равно
Итак, полное количество билетов с последовательными числами будет
Если вам когда-либо настолько повезет, что вы выиграете большой приз, вам не захочется, чтобы произошло то, что случилось в Великобритании 14 января 1995 г. Тогда шла лишь девятая неделя национальной лотереи, а джекпот превзошел немалую сумму в £ 16 миллионов. Когда шесть шаров выпали из лототрона, то победители наверняка прыгали у диванов и кричали от счастья. Но когда они пришли за выигрышем, то каждый из них обнаружил, что ему придется поделить джекпот с другими 132 обладателями счастливых билетов. Каждый из победителей получил пустяк в £ 122 510.
Но как получилось, что так много людей угадали правильную комбинацию? Дело заключается в том обстоятельстве, которое я отметил, когда мы рассматривали игру «Камень, ножницы, бумага»: мы, люди, печально известны своим неумением выбирать случайные числа. Нужно принять во внимание, что 14 миллионов человек играют в национальную лотерею, и многих из них притягивают схожие числа, например число удачи 7 либо дни рождений или юбилеев (что исключает числа 32–49). Также для выбора многих людей характерно то, что они стремятся распределить свои числа равномерно.
Вот выигравшие числа девятой недели лотереи:
Такое равномерное распределение чисел не слишком-то характерно для случайных процессов: числа могут собираться вместе и отталкиваться с одинаковой вероятностью. Из 13 983 816 различных возможных комбинаций лотерейных билетов у 6 924 764 будут хотя бы два последовательных номера. Это составляет 49,5 %, что очень близко к половине всех комбинаций. Например, в предшествовавшую неделю выпали номера 21 и 22. А в последовавшую неделю были 30 и 31.
Однако не привязывайтесь слишком к последовательным числам. Вы могли бы решить, что комбинация 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет умным выбором. В любом случае, как я надеюсь, к настоящему времени вы понимаете, что эта комбинация столь же вероятна, как и любая другая (то есть крайне маловероятна). Если вы сорвете джекпот с этой комбинацией, вы, наверное, рассчитываете получить выигрыш целиком. Но, оказывается, более 10 000 человек в Великобритании используют эту комбинацию каждую неделю – что лишь показывает, насколько разумно британское население. Единственная проблема состоит в том, что в случае выигрыша вам придется делиться джекпотом с другими 10 000 умными людьми.
Как обманывать в покере и показывать фокусы, используя задачу о простых числах на миллион долларов
Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой[8]. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.
Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.
Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.
Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2
Пронумеруйте карты 0, 1, 2 и так далее вплоть до 2
Но куда пойдут карты, находящиеся дальше в колоде? Чтобы разобраться в этом, представим часы с часовыми делениями от 1 до 2
То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 28 = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.
Но как долго вам придется выполнять совершенные тасовки с колодой из 2
Однако в случае, когда 2
В популярной версии покера, называемой «техасский холдем», каждому игроку раздаются по две карты картинками вниз. Затем дилер поочередно выкладывает пять карт на стол картинками вверх. Вы должны собрать как можно лучшую комбинацию из пяти карт, выбирая из двух имеющихся у вас и пяти на столе, которая превзошла бы комбинации соперников. Если вам достались две последовательные карты (скажем, 7 треф и 8 пик), вы можете войти в азарт из-за возможности стрита (пяти последовательных карт любых мастей, например 6, 7, 8, 9, 10).
Стрит – весьма сильная комбинация. Поскольку ее вероятность довольно низка, вы можете счесть, что наличие у вас двух последовательных карт – достаточное основание для повышения ставок, потому что вы находитесь на пути к стриту. И вот сейчас вам надлежит вспомнить лотерейную подсказку. Два последовательных числа довольно часто выпадают в лотерее, то же относится и к покеру. Знаете ли вы, что в 15 % раздач техасского холдема имеются две последовательные карты? Однако чуть меньше трети из них дойдут до стрита, когда дилер выложит пять карт на столе.