Ятима изменил пространство вокруг объекта и сам объект. Пространство на горизонте на востоке и западе начало сжиматься, а синие линии широты начали выпрямляться. На юге у узкой области кривизна быстро выросла. "Если вы изгибаете цилиндр в тор, то линии параллельные оси цилиндра растянутся в круги разного размера, вот где кривизна действительно проявляется. И если бы вы попытались сохранить все круги, так чтоб они были одинакового размера, невозможно было бы никоим образом удержать их друг от друга. Но это верно только в трех измерениях".

Линии сетки были полностью прямыми теперь, перспектива везде вполне линейная. Им казалось что он стоит на безграничной плоскости, и только повторяющиеся образы их аватар свидетельствовали об ином. Треугольники также выпрямились; Ятима сделал две идентичных копии одного из них, затем добавил третий и соединил их в виде лопасти вентилятора, которые показывали сумму углов до 180 градусов. "Топологически, ничего не изменилось, я не менял ничего не прикладывал и не присоединял к поверхности. Разница лишь в том, что…"

Он прыгнул назад на лесную поляну. Тор оказался превращенным в короткую цилиндрическую полосу; большие синие круги широты были все теперь равного размера — но меньшие красные круги, меридианы, выглядели так будто они были выровнены в прямые линии. "Я повернул каждые 90 градусов меридиана, в четвертое пространственное измерение. Они только выглядят плоскими поскольку мы видим их с ребра." Ятима повторил трюк с аналогом более низкого измерения: взяв полосу между парой концентрических кругов и скручивая ее на 90 градусов от плоскости, поставил ее на ребро; дополнительное измерение создавало место для всей полосы целиком, чтобы иметь однородный радиус. С тором было почти так же; каждый круг широты мог иметь тот же радиус до тех пор, пока они не получили другие "высоты" в четвертом измерении, чтобы держать их раздельно. Ятима изменил цвет всего тора в плавно изменяющиеся оттенки зеленого, чтобы показать скрытую четвертую координату. Внутренняя и внешняя поверхности "цилиндра" только соответствовали цветами верхним и нижним ободьям, — здесь они сошлись в четвертом измерении; в другом месте, другие оттенки с той или другой стороны показывали, что они остались разделенными.

Радия сказал: "Очень хорошо. Теперь можешь делать то же со сферой?"

Ятима скривился от досады. "Я пробовал! Интуитивно это кажется просто невозможным… но я бы сказал то же самое о торе, прежде чем нашел правильное решение. Он создал сферу, как и говорил, и деформировал ее в куб. Ничего хорошего однако не получилось — сфера просто свела всю свою кривизну в своеобразие углов, и все.

"Хорошо". Вот подсказка". Радия трансформировал куб обратно в сферу, и нарисовал три больших круга на ее черноте: по экватору, и два полных меридиана, отстоящих на 90 градусов друг от друга.

"Что же я разделил на поверхности?"

"Треугольники. Прямоугольные треугольники". Четыре в северном полушарии, 4 на южном.

"И все, что вы делаете с поверхностью — изгибаете, протягиваете, скручиваете ее в тысяче других измерениях — всегда ли вы будете способны разделить ее одним тем же способом, или нет? Восемью треугольниками, заключенными между шестью точками?"

Ятима экспериментировал, последовательно деформируя сферы в различные формы. "Я думаю, вы правы. Но как это поможет?"

Радия промолчал. Ятима сделал объект прозрачным, так что бы он мог видеть все треугольники сразу. Они сформировали вид грубой сетки, шестиконечной сети, закрытой авоськи из веревок. Он выпрямил все двенадцать линий, в которые несомненно выравнивались треугольники — но это превратило сферу в алмаз в форме октаэдра, что было также плохо как куб. Каждая плоскость алмаза была вполне эвклидовой, но шесть острых точек были похожи на бесконечно сконцентрированные хранилища кривизны

Он попытался сгладить и выровнять шесть точек. Это было легко — но это сделало восемь треугольников такими же изогнутыми и неэвклидовыми какими они были на оригинальной сфере. Казалось "очевидным", что точки и треугольники невозможно никогда сделать плоскими одновременно, но Ятима все еще не мог понять причину почему эти две цели были невыполнимыми одновременно. Он измерил углы там, где четыре треугольника встречались: 90, 90, 90, 90. Это имело полный смысл:, чтобы лежать плоско и стыковаться хорошо без каких-либо промежутков, они должны дополнять друг друга до 360 градусов. Он вернулся к алмазу, и измерил те же углы снова: 60, 60, 60, 60. В общей сложности 240, и это было слишком мало, чтобы лежать в плоскости; нечто меньшее чем полный оборот заставляет поверхность свернуться подобно точке конуса…

Вот именно! Это было сердцем противоречия! Каждая вершина нуждается в углах, составляющие 360 градусов вокруг нее, для того, чтобы лежать плоско… тогда как каждая плоскость, эвклидовый треугольник поставлял только 180 градусов. Вдвое меньше. Так что если там было бы ровно в два раза больше треугольников в качестве вершин, все бы прекрасно складывалось — но с шестью гранями и только восемью треугольниками, там было недостаточно плоскостей, чтобы завершить оборот.

Ятима усмехнулся торжественно, и рассказал цепочку рассуждений. Радия спокойно сказал: "Хорошо. Вы только что открыли теорему Гаусса, связывающую число Эйлера и общую кривизну".

"Неужели?" Ятима почувствовал прилив гордости; Эйлер и Гаусс были легендами давно умерших флешеров, но их уровня редко кто достигал.

"Не совсем." Радия легко улыбнулся. "Вы должны посмотреть точную формулировку, хотя, я думаю, вы готовы для официального включения в римановы пространства. Но если все это начинает казаться слишком абстрактными, не бойтесь отступить и посмотреть некоторые дополнительные примеры".

"Хорошо". Ятиме не нужно было объяснять, что урок окончен. Он поднял руку в знак благодарности, а затем исчез из пространства..

На мгновение Ятима был в тишине, наедине со своими мыслями. Он знал, что он до сих пор не понимает понятия полной кривизны, но были десятки других способов об этом думать, но по крайней мере он постиг еще один фрагмент картины мира.

Тогда он прыгнул к Источникам Истины.

Он прибыл в похожее на пещеру пространство со стенами из темного камня, с включениями из серых вулканических минералов, грязновато-коричневых глин, пронизанных ржавыми красными полосами. В пол пещеры был внедрен странный, светящийся объект: дюжина плавающих искр света, вложенных в сложный набор эфемерных мембран. Мембраны формировались вложенными, концентрическими сериями, слоями Далиэскью — каждая серия, образовывала в высшей точке пузырь вокруг единственной искры, или случайной группы двух или трех искр. Так как искры дрейфовали, мембраны как бы текли, размещаясь таким образом, чтобы никакая искра не избегала вложения в свой пузырь.