Из-за COVID-19 человечество прошло ускоренный (и весьма дорогостоящий!) курс статистики. Все были вынуждены в сжатые сроки познакомиться с экспоненциальными кривыми и интервалами неопределенности, ложноположительностью и ложноотрицательностью, усвоить разницу между уровнем инфекционной смертности и показателем летальности. Некоторые из этих понятий, бесспорно, сложны, но даже те, что на первый взгляд кажутся простыми, – например, количество умерших от вируса – на поверку вызывают затруднения. В первой главе мы рассмотрим, как обычные с виду числа могут удивительным образом сбивать с толку.
Одним из первых люди усвоили коэффициент распространения (R). Если еще в декабре 2019 года вряд ли хотя бы один человек из пятидесяти знал о нем, то уже к концу марта 2020-го этот показатель упоминался в новостях практически без всяких пояснений. Но поскольку числа могут вести себя очень коварно, искренние попытки сообщить аудитории об изменениях R вводили читателей и зрителей в заблуждение.
Напомним: R – это
Конечно, этот показатель не так прост: это всего лишь среднее. При R = 5 каждый из сотни человек может заразить ровно пятерых, но может случиться и так, что 99 человек не заразят никого, а один заразит 500 человек. Возможен и любой промежуточный вариант.
Причем с течением времени коэффициент распространения меняется. R может быть сильно больше в самом начале эпидемии, когда ни у кого еще нет иммунитета и никакие превентивные меры – социальное дистанцирование или ношение масок, – скорее всего, еще не приняты. Одна из задач здравоохранения в этот момент – с помощью вакцинации или выработки у населения новых привычек снизить R. Ведь если он выше единицы, инфекция будет распространяться экспоненциально, а если ниже – эпидемия сойдет на нет.
Но даже с учетом всех этих тонкостей можно было бы ожидать, что в случае вируса есть одно простое правило: если R растет, это плохо. Поэтому в начале мая 2020 года никого не удивлял тон сообщений, заполонивших британскую прессу: «коэффициент распространения вируса снова превысил единицу», вероятно из-за «скачка заболеваемости в домах престарелых».
Но, как обычно, всё несколько сложнее.
С 2000 по 2013 год медианная заработная плата в США выросла примерно на 1 % в реальном выражении (то есть с учетом инфляции).
Понятия среднего арифметического, медианы и моды вы могли узнать в школе. Что такое среднее арифметическое, наверное, даже помните – нужно сумму нескольких чисел разделить на их количество. А медиана – это среднее число в последовательности чисел.
Разница вот в чем. Пусть население – 7 человек, причем один из них зарабатывает 1 фунт в год, один – 2 фунта и так далее – до 7. Если все эти числа сложить, получится 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Разделив 28 на число людей (7), получим 4 фунта. Среднее арифметическое – 4 фунта.
А чтобы узнать медиану, числа не складывают, а располагают по возрастанию: с левого края заработок в 1 фунт, потом – 2, и так до 7 с правого края. Так вы увидите, кто оказался в середине – человек, получающий 4 фунта. Так что и медиана у нас равна 4 фунтам.
Теперь представим, что тот, кто зарабатывает 7 фунтов, продает свой технический стартап компании Facebook за миллиард. Наше среднее арифметическое внезапно становится равно (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 000 000 000) / 7 = 142 857 146 фунтам. Таким образом, хотя положение 6 из 7 человек никак не изменилось, «среднестатистический гражданин» стал мультимиллионером.[3]
В подобных случаях неравномерного распределения статистики часто предпочитают иметь дело с медианой. Если мы снова выстроим людей по порядку возрастания их зарплат, то в середине опять окажется тот, кто зарабатывает 4 фунта. При изучении реального населения, состоящего из миллионов человек, медиана дает лучшее представление о ситуации, чем среднее арифметическое, особенно если оно искажено зарплатами нескольких суперпреуспевающих работников.
А
Кажется, что рост медианной заработной платы – это хорошо. Но если рассмотреть отдельные группы населения США, то можно обнаружить нечто странное. Медианный заработок тех, кто окончил только среднюю школу, снизился на 7,9 %; тех, кто окончил старшие классы, – на 4,7 %. Медианный заработок людей с неполным высшим образованием снизился на 7,6 %, а с высшим образованием – на 1,2 %.
Окончившие и не окончившие старшие классы, окончившие и не окончившие колледж – медианная зарплата во всех группах с определенным уровнем образования снизилась, хотя медианная зарплата населения в целом повысилась.
Как так?
Дело в том, что количество людей с высшим образованием увеличилось, а их медианный заработок снизился. В результате с медианой происходят странности. Это называется парадоксом Симпсона – в 1951 году его впервые описал британский дешифровщик и статистик Эдвард Симпсон. Парадокс распространяется не только на медианы, но и на среднее арифметическое – однако в нашем примере мы поговорим о медианах.
Предположим, что население – 11 человек. Трое из них не пошли в старшие классы и зарабатывают по 5 фунтов в год; трое окончили школу и зарабатывают по 10; трое бросили университет и зарабатывают по 15; а двое закончили бакалавриат и зарабатывают по 20 фунтов. Медианная зарплата такой популяции в целом (то есть зарплата среднего человека при таком распределении доходов, см. врезку на предыдущей странице) составляет 10 фунтов.